নিজে করি
কষে দেখি ১.২
1. নীচের প্রত্যেকটির n –তম (n –ধনাত্মক পূর্ন সংখ্যা ) সজ্জায় প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা লিখি ।
সমাধানঃ
(i) প্রথম সজ্জায় কাঠির সংখ্যা = 6 = 6☓1 -(1-1)
দ্বিতীয় সজ্জায় কাঠির সংখ্যা = 11 = 6☓2 – (2-1)
তৃতীয় সজ্জায় কাঠির সংখ্যা = 16 = 6☓3 -(3-1)
∴ n-তম সজ্জায় কাঠির সংখ্যা = 6☓n -(n-1) = 6n -n+1 = 5n+1
(ii) প্রথম সজ্জায় কাঠির সংখ্যা = 7 =5☓1+2
দ্বিতীয় সজ্জায় কাঠির সংখ্যা = 12 = 5☓2+2
তৃতীয় সজ্জায় কাঠির সংখ্যা = 17 = 5☓3 +2
∴ n – তম সজ্জায় কাঠির সংখ্যা = 5☓n +2 = 5n+2
(iii) প্রথম সজ্জায় কাঠির সংখ্যা = 5 =1+4 ✕ 1
দ্বিতীয় সজ্জায় কাঠির সংখ্যা = 9 = 1+4✕ 2
তৃতীয় সজ্জায়কাঠির সংখ্যা = 13 = 1+4✕ 3
∴ n – তম সজ্জায় কাঠির সংখ্যা = 1+ 4✕ n = 1+4n
2. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য (4y+2) সেমি. হলে ত্রিভুজটির পরিসীমা লিখি ।
সমাধানঃ সমাবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য (4y +2) সেমি. হলে ত্রিভুজটির পরিসীমা = {3✕(4y+2) } সেমি. = (12y +6) সেমি.।
3. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (8x+3y) সেমি. এবং প্রস্থ ( 8x-3y) সেমি. । ওই আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল লিখি ।
সমাধানঃ একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (8x+3y) সেমি. এবং প্রস্থ ( 8x-3y) সেমি. ।
∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ={(8x+3y) ☓ (8x-3y) } বর্গসেমি. = (8x)2 – (3y)2} বর্গসেমি. = (64x2 – 9y2 } বর্গসেমি.।
4. বর্গাকার ক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য (3m-4) মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত হবে m এর মাধ্যমে লিখি । m এর মান কত হলে বর্গাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা 8 মিটার হবে হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ বর্গাকার ক্ষত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য (3m -4 ) মিটার ।
∴ বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য ) 2 = (3m-4)2 বর্গমিটার
বর্গাকার ক্ষত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য (3m -4 ) মিটার ।
∴পরিসীমা = 4 ☓ বাহুর দৈর্ঘ্য = {4☓ (3m-4)} মিটার = (12m -16 ) মিটার
শর্তানুসারে ,
12m -16 = 8
বা, 12m = 16+8
বা, 12m = 24
বা, m = 24 /12
বা, m = 2
∴ m এর মান 2 হলে বর্গাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা হবে (3m -4) মিটার ।
5. নীচের ছক পূরণ করি ।
| বীজগাণিতিক সংখ্যামালা | যোগ করি | বিয়োগ করি |
| (a) (i ) x2 +2y2 (ii) (-8x2 +6x2 +z2) |
(i) + (ii) = (x2+2y2 ) +(-8y2 +6x2 +z2) = (x2+2y2 -8y2+6x2+z2) = 7x2 -6y2 +z2 | (i) – (ii) = (x2+2y2 ) – (-8y2 +6x2 +z2) = (x2+2y2 +8y2 -6x2 – z2 = (10y2 – 5x2 –z2) |
| (b) (i) 6a2+2 (ii) -3a2 +3a (iii) -2a+3 |
(i) +(ii)+ (iii) = ( 6a2+2) + (-3a2+3a)+ ( -2a+3) = 6a2 +2 -3a2 +3a -2a +3 = 3a2 + a +5 | (ii) – (i) = (-3a2 +3a) – ( 6a2+2) = (-3a2 +3a -6a2 -2) =(-9a2 +3a -2) (iii) –(i) = (-2a+3) –(6a2+2) = (-2a +3 -6a2 -2) = (-6a2 -2a +1) |
| (c ) (i) 9m2 -2mn +n2 (ii) m2+n2 (iii) m2-3mn-2n2 |
(i) + (ii) +(iii) = (9m2-2mn +n2) + (m2+n2) + (m2-3mn-2n2) = (9m2-2mn +n2 + m2+n2 + m2-3mn-2n2 ) = (11m2 -5mn) | (i) –(ii) = (9m2-2mn +n2) – (m2+n2) = (9m2-2mn +n2 – m2-n2) = (8m2 – 2mn) (ii) –(iii) = (m2+n2) – (m2-3mn-2n2 ) = (m2 +n2 –m2 +3mn +2n2) = (3n2 +3mn) |
6. নীচের ছক দেখি ও লিখিঃ
7. সরল করিঃ
(i) (a-b ) +(b-c) +(c-a)
সমাধানঃ
(a-b ) +(b-c) +(c-a)
=a –b + b-c +c-a
= 0
(ii) (a+b)(a-b) +(b+c)(b-c) +(c+a)(c-a)
সমাধানঃ
(a+b)(a-b) +(b+c)(b-c) +(c+a)(c-a)
= a2 –b2 +b2-c2+c2-a2
= 0
(iv) a(b-c) +b(c-a) + c (a-b)
সমাধানঃ
a(b-c) +b(c-a) + c (a-b)
= ab –ac +bc-ba +ca –cb
= 0
(v) x2 ( y2-z2) +y2(z2-x2) + z2 (x2-y2)
সমাধানঃ
x2 ( y2-z2) +y2(z2-x2) + z2 (x2-y2)
= x2 y2 -x2z2 +y2z2 –y2x2 +z2x2 –z2y2
= 0
(vi) (x3+y3)(x3-y3)+(y3+z3) (y3-z3) +(z3+x3) (z3-x3)
সমাধানঃ
(x3+y3)(x3-y3)+(y3+z3) (y3-z3) +(z3+x3) (z3-x3)
= (x6 –y6) +(y6-z6) + ( z6-x6)
= x6 –y6 +y6 –z6+z6-x6
= 0
8. (a+b)2 =a2+2ab +b2 এবং (a-b)2 = a2-2ab+b2 – এই অভেদগুলি ব্যবহার করে নীচের সংখ্যামালা গুলির বর্গ করি ।
(i) 5x-2y
(ii) 7+2m
(iii) x+y+z
(iv) a+b-c-d
সমাধানঃ
(i) (5x-2y) এর বর্গ
= (5x -2y)2
= (5x)2 -2.5x. 2y + (2y)2
= 25x2 – 20xy + 4y2
(ii) (7+2m) এর বর্গ
= (7 +2m)2
= (7 )2 + 2.7. 2m +(2m)2
= 49 + 28m + 4m2
(iii) (x+y+z) এর বর্গ
= (x +y +z)2
= { (x+y) + z}2
= (x+y)2 + 2. (x+y) . z +z 2
= (x 2 +2xy +y2) +2xz+2yz + z2
= x2+y2+z2 +2xy+2yz+2zx
(iv) (a+b -c-d ) এর বর্গ
= (a +b-c –d)2
= { (a+b) –(c +d) }2
= (a+b)2 – 2(a+b)(c+d) + (c+d)2
= a2 +2ab+b2 – 2ac -2bc -2ad-2bd +c2+2cd+d2
= a2+b2+c2+d2 +2ab+2cd-2ac-2bc -2ad-2bd
9. (a+b)2 =a2+2ab +b2 এবং (a-b)2 = a2-2ab+b2 – এই অভেদগুলি ব্যবহার করে নীচের সংখ্যামালাগুলি পূর্নবর্গাকারে প্রকাশ করিঃ
(ii) 25 m2 – 70mn +49n2
সমাধানঃ
25 m2 – 70mn +49n2
= (5m)2 – 2.5m . 7n + (7n)2
= (5m -7n) 2
(iii) (2a –b)2 +(4a-2b) (a+b) +(a+b)2
সমাধানঃ
(2a –b)2 +(4a-2b) (a+b) +(a+b)2
= (2a –b)2 +2(2a-b) (a+b) +(a+b)2
= {(2a-b) + (a+b) }2
= (2a –b +a +b) 2
= (3a) 2
10. নীচের সংখ্যামালাকে দুটি বর্গের অন্তর রূপে প্রকাশ করিঃ
(i) 391 ☓ 409
সমাধানঃ
391 ☓ 409
= ( 400 -9 ) (400 +9)
= (400) 2 – (9)2
(ii) ( 4x+3y ) (2x-3y)
সমাধানঃ
(iii) x
সমাধানঃ
11. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করিঃ
(i) 225m2 -100n2
সমাধানঃ
225m2 -100n2
= (15m)2 – (10n)2
= (15m+10n) ( 15m-10n)
= 25 (3m+2n) (3m-2n)
(iii) 7ax2 +14ax +7a
সমাধানঃ
7ax2 +14ax +7a
= 7a(x2 +2x+1)
= 7a (x+1)2
= 7a (x+1)(x+1)
(iv) 3x4 -6x2a2 +3a4
সমাধানঃ
3x4 -6x2a2 +3a4
= 3(x4 -2x2a2 +a4)
= 3 {(x2)2 -2.x2 . a2 +(a2)2}
= 3 (x2 –a2)2
= 3{(x+a)(x-a) }2
= 3 (x+a)2 (x-a)2
= 3 (x+a) (x+a)(x-a)(x-a)
(v) 4b2c2 – (b2+c2-a2)2
সমাধানঃ
4b2c2 – (b2+c2-a2)2
= (2bc)2 – (b2+c2-a2)2
= (2bc + b2+c2-a2 ) (2bc –b2 –c2 +a2)
= {(b+c)2 -a2} {a2 – (b2 -2bc+c2 )}
= {(b+c)2 – a2}{a2 –(b-c)2 }
= (b+c+a) (b+c-a) (a+b-c) (a –b +c)
(vi) 64ax2 – 49a (x-2y)2
সমাধানঃ
64ax2 – 49a (x-2y)2
= a[(8x)2 – {7(x-2y)}2 ] 2
= a {8x +7(x-2y) } {8x-7(x-2y)}
= a (8x +7x -14y) ( 8x-7x+ 14y )
= a (15x -14y) (x+14y)
(vii) x2 -9 -4xy +4y2
সমাধানঃ
x2 -9 -4xy +4y2
= (x2 -4xy+4y2) -9
= {(x)2 -2.x. (2y ) +(2y)2 } – (3)2
= (x-2y)2 – (3)2
= (x-2y +3 )(x -2y -3)
(viii) x2 -2x-y2 +2y
সমাধানঃ
x2 -2x-y2 +2y
= x2 -2x+1 –y2 +2y -1
= (x2 -2x+1) – (y2 -2y +1)
= (x -1)2 –(y-1)2
= {(x-1)+(y-1)}{(x-1)-(y-1)}
= (x -1 +y-1) (x-1 –y+1)
= (x+y-2) (x –y)
(ix) 3+2a-a2
সমাধানঃ
3+2a-a2
= 3 + (3-1)a-a2
= 3 +3a –a –a2
= 3(1+a) –a (1+a)
= (1+a) (3-a)
(x ) x4-1
সমাধানঃ
x4-1
= (x2)2 -1
= (x2+1)(x2-1)
= (x2+1) (x+1)(x-1)
(xi) a2 –b2 –c2+2bc
সমাধানঃ
a2 –b2 –c2+2bc
= a2 – (b2 -2bc –c2)
= a2 – (b-c)2
= (a +b-c)(a –b+c)
(xii) ac+bc+a+b
সমাধানঃ
ac+bc+a+b
= c(a+b) +1(a+b)
= (a+b) (c+1)
(xiii) x4 +x2y2+y4
সমাধানঃ
x4 +x2y2+y4
= {(x2)2 + 2x2y2 +(y2)2 } – x2y2
= (x2+y2)2 –(xy)2
= (x2 +xy+y2) (x2-xy +y2)
12. সূত্রের সাহায্যে গুণ করিঃ
(i) (xy+pq)(xy-pq)
সমাধানঃ
(xy+pq)(xy-pq)
= {(xy)2 – (pq)2
= (x2y2 –p2q2)
(ii) 49 ☓ 51
সমাধানঃ
49 ´ 51
= (50 -1) (50+1)
= (50)2 –(1)2
= 2500 – 1
= 2499
(iii) (2x-y+3z) (2x+y+3z)
সমাধানঃ
(2x-y+3z) (2x+y+3z)
= {(2x+3z) –y}{(2x+3z) +y}
= {(2x+3z)2 –(y)2 }
= {(2x)2 +2. 2x. 3z +(3z)2 } -y2
= (4x2 + 12xz +9z2 –y2)
(iv) 1511 ☓ 1489
সমাধানঃ
1511 ☓ 1489
= (1500 +11) (1500 -11)
= (1500)2 –(11)2
= 2250000- 121
= 2249879
(v) (a-2)(a+2) (a2+4)
সমাধানঃ
(a-2)(a+2) (a2+4)
= (a2 -22) (a2 +4)
= (a2 -4) (a2+4)
= (a2)2 –(4)2
= (a4 -16 )
(vi ) (a +b-c) (b+c-a)
সমাধানঃ
(a +b-c ) (b+c-a)
= {b+ (a-c) } {b –(a-c)}
= (b)2 – (a-c)2
= b2 –(a2– 2ac +c2)
= b2 –a2 +2ac – c2
(d) (a+b) = 5 ,(a-b) = 1 হলে সূত্রের সাহায্যে দেখাই যে , 8ab (a2+b2) =624
সমাধানঃ 8ab (a2+b2)
= 4ab . 2(a2+b2)
= {(a+b)2 – (a-b)2 }{(a+b)2 +(a-b)2}
= {(5)2 –(1)2 }{(5)2 +(1)2} [যেহেতু, a+b =5 এবং a-b=1]
= (25 -1) (25 +1)
= 24 ☓ 26
= 624 [প্রমাণিত ]
(e ) x –y = 3 , xy = 28 হলে , (x2 +y2) এর মান হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ x –y = 3 , xy = 28
(x2 +y2)
= (x2 -2xy+y2 +2xy)
= (x-y)2 +2xy
= (3)2 +2 (28) [যেহেতু, x-y= 3 এবং xy=28]
= 9 + 56
= 65
14. দুটি বর্গের সমষ্টি রূপে প্রকাশ করিঃ
(a) 2(a2+b2)
সমাধানঃ
2(a2+b2)
= (a+b)2 +(a-b)2
(b) 50x2+18y2
সমাধানঃ
50x2+18y2
= 2 (25x2 +9y2)
= 2{(5x)2 +(3y)2}
= (5x+3y)2 +(5x-3y)2
(c ) a2 +b2+c2+d2+2(ac-bd)
সমাধানঃ
a2 +b2+c2+d2+2(ac-bd)
= a2 +b2+c2+d2 +2ac -2bd
= a2+2ac+c2 +b2-2bd+d2
= (a+c)2 +(b-d)2
(ii) a2+4 এর সঙ্গে কত যোগ করলে তা একটি পূর্নবর্গ সংখ্যামালা হবে লিখি ।
সমাধানঃ a2 +4 = (a+2)2 -2.a.2 = (a+2)2 -4a
আবার , a2 +4 = (a-2)2 +2.a.2 = (a-2)2 +4a
∴ a2+4 এর সঙ্গে ± 4a যোগ করলে যোগফল পূর্নবর্গ হবে ।
(iii) a ও b ধনাত্মক পূর্নসংখ্যা এবং a2-b2 = 9 ☓ 11 হলে a ও b এর মান লিখি ।
সমাধানঃ
a2-b2 = 9 ☓ 11
⇒ a2-b2 = (10-1) (10+1)
⇒ a2-b2 = (10)2 –(1)2
∴ a =10 এবং b = 1 [যেহেতু a এবং b উভয়ই ধনাত্মক পূর্নসংখ্যা ]
(iv) (x+y)2 –(x-y)2 =4xy অভেদটি কি সমীকরণ ? যুক্তিসহ লিখি ।
সমাধানঃ
(x+y)2 –(x-y)2 = (x2+2xy+y2) –(x2 -2xy+y2) = x2+2xy+y2 –x2+2xy –y2 = 4xy
এক্ষেত্রে x ও y এর যেকোনো মানের জন্য (x+y)2 –(x-y)2 =4xy সম্পর্কটি সিদ্ধ হচ্ছে । সুতরাং এটি একটি অভেদ । সমিকরণ হলে x এবং y এর বিশেষ কিছু মানের জন্য সম্পর্কটি সিদ্ধ হতো ।
(v) শূন্য ছাড়া x ও y এর যেকোনো ধনাত্মক মানের জন্য (x2+y2) এর মান সর্বদাই হবে [ধনাত্মক / ঋণাত্মক ]
সমাধানঃ শূন্য ছাড়া x ও y এর যেকোনো ধনাত্মক মানের জন্য (x2+y2) এর মান সর্বদাই ধনাত্মক হবে ।
যেহেতু , x ধনাত্মক
∴ x2 ধনাত্মক
যেহেতু , y ধনাত্মক
∴ y2 ধনাত্মক
∴ x2+y2 ধনাত্মক
16. সমাধান করিঃ
(i) 6x =72
সমাধানঃ
6x =72
Þ x = 72 /6
Þ x = 12
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 12 ।
(ii) 9x+2 =20
সমাধানঃ
9x+2 =20
বা, 9x = 20-2
বা, 9x = 18
বা, x = 18/9
বা, x = 2
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 2 ।
(iii) 4x-2x+3 = 9 -4x
সমাধানঃ
4x-2x+3 = 9-4x
বা, 2x +3 = 9 -4x
বা, 2x+4x = 9 -3
বা, 6x = 6
বা, x = 6/6
বা, x = 1
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 42 ।
(v) 2x – 5{7 –(x-6)+3x} -28 = 39
সমাধানঃ
2x – 5{7 –(x-6)+3x} -28 = 39
বা, 2x -35 + 5 (x-6) – 15x -28 = 39
বা, 2x -35 +5x -30 -15x -28 = 39
বা, 7x-15x = 39 +28 +30 +35
বা, -8x = 132
বা, 23x – 43 = 900
বা , 23x = 900+43
বা, 23x = 943
বা, x = 943/23
বা, x = 41
∴ নির্ণেয় সমাধান x = 41 ।
