দশম শ্রেণী – ভেদ (কষে দেখি ১৩)

1. A ও B এর সম্পর্কিত মানগুলি

A	25	30	45	250
B	10	12	18	100

A ও B এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি ।

সমাধানঃ

$\frac{A}{B}=\frac{25}{10}=\frac{30}{12}=\frac{45}{18}=\frac{250}{100}=\frac{5}{2}$

$\therefore \frac{A}{B}=\frac{5}{2}$

বা, $A=\frac{5}{2}\times B$

$\therefore A\propto B$

 

2. x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি

x	18	8	12	6
y	3	27/4	9/2	9

x ও y  এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক আছে কিনা বুঝে লিখি ।

সমাধানঃ

$xy=18\times 3=8\times \frac{27}{4}=12\times \frac{9}{2}=6\times 9=54$

বা, xy = 54

$\therefore xy$ = ধ্রুবক

$\therefore x\propto \frac{1}{y}$

সুতরাং x ও y এর মধ্যে ব্যাস্ত সম্পর্ক আছে ।

 

3(i) বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি. পথ অতিক্রম করে । একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি ।

সমাধানঃ 

ধরি , প্রয়োজনীয় সময় = T এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব = S । যেহেতু , গতিবেগ স্থির রেখে , সময় বৃদ্ধি (হ্রাস ) পেলে অতিক্রান্ত দূরত্ব বৃদ্ধি (হ্রাস) পায় । সুতরাং T ও S সরলভেদে আছে ।

সুতরাং , $S\propto T$

$\therefore S=kT$ [k-একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] —-(i)

T = 25 হলে , S =14

(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,

14=k.25

বা, $K=\frac{14}{25}$

(i) নং সমীকরণে k -এর মান বসিয়ে পাই,

$S=\frac{14}{25}T$ —-(ii)

5 ঘন্টা = 5×60 মিনিট = 300 মিনিট

(ii) নং সমীকরণে T -এর মান বসিয়ে পাই,

$S=\frac{14}{25}\times 300$

বা, S =168

∴ বিপিন কাকু একই গতিবেগে  ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘন্টায় 168 কিমি. পথ যাবেন ।  

 

3(ii) আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণীর 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5 টি করে সন্দেশ পেল । যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত , তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি ।

সমাধানঃ 

ধরি , শিশুর সংখ্যা A জন এবং সন্দেশের এর সংখ্যা B ।

যেহেতু মোট সন্দেশের-এর সংখ্যা স্থির রেখে , শিশুর সংখ্যা বাড়ালে বা কমালে প্রত্যেক শিশুর পাওয়া সন্দেশের এর পরিমান কমবে বা বাড়বে । সুতরাং A ও B ব্যাস্তভেদে আছে ।

সুতরাং, $A\propto \frac{1}{B}$

$\therefore A=k\times \frac{1}{B}$ [k -একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

এখন , A =24 হলে ,B =5

$\therefore 24=k\times \frac{1}{5}$

বা, k =120

অর্থাৎ, $A=\frac{120}{B}$ —–(i)

এখন শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হলে , তখন শিশুর সংখা হত (24-4)জন = 20 জন ।

(i) নং সমীকরণে A=20 বসিয়ে পাই,

$20=\frac{120}{B}$

বা, $B=\frac{120}{20}$

বা, B = 6

উত্তরঃ শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হলে  প্রত্যেকে 6 টি করে সন্দেশ পেত ।

 

3(iii) একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে । পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কত জন লোককে কাজ করতে হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি ।

সমাধানঃ 

ধরি, গ্রামবাসীর সংখ্যা N এবং দিনসংখ্যা D । যেহেতু মোট কাজের পরিমান স্থির রেখে , গ্রামবাসী সংখ্যা বাড়ালে (বা কমালে) দিনসংখ্যা কমবে (বা বাড়বে ) ।সুতরাং N ও D ব্যাস্তভেদে আছে ।

সুতরাং, $N\propto \frac{1}{D}$

$\therefore N=k\times \frac{1}{D}$ [k-একটি অশুন্য ভেদ ধ্রুবক]

এখন , N=50 হলে , D =18

$\therefore 50=\frac{k}{18}$

বা, k =900

$\therefore N=\frac{900}{D}$—- (i)

(i) নং সমীকরণে D=15 বসিয়ে পাই,

$N=\frac{900}{15}$

বা, N =60

∴ পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে আরও অতিরিক্ত (60-50 ) = 10 জন লাগবে।

 

4.(i) y ,x এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y=9 যখন x=9; x এর মান নির্ণয় করি যখন y =6.

সমাধানঃ y ,x এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে

∴ y ∝ √x

∴ y =k√x [ k (≠0) is a Variation Constant ]

আবার , y=9 যখন x= 9

সুতরাং , 9 = k√9

বা, 9 = 3k

বা, k= 3

∴ y= 3√x —– (i)

(i) নং সমীকরণে y=6 বসিয়ে পাই ,

∴ 6=3√x

বা, √x = 2

বা, x = 4 [ উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই ]

∴ নির্ণেয় মান, x = 4 যখন y= 6

4(ii) x,y এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z এর সঙ্গে ব্যাস্ত ভেদে আছে । y= 4,z=5 হলে x =3 হয়। আবার y=16 ,z=30 হলে, x এর মান হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

$x\propto y$, যখন z ধ্রুবক

$x\propto \frac{1}{z}$ , যখন y ধ্রুবক

$\therefore x\propto \frac{y}{z}$ ,যখন y ও z উভয়ই পরিবর্তনশীল

সুতরাং, $x=k\times \frac{y}{z}$ [k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]—-(i)

y=4 এবং z = 5 হলে , x =3(প্রদত্ত)

(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,

$3=k\times \frac{4}{5}$

বা, $k=\frac{15}{4}$

আবার (i) নং সমীকরণে k-এর মান বসিয়ে পাই,

$x=\frac{15y}{4z}$ ——(ii)

যখন y=16 এবং z=30 তখন (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই ,

$x=\frac{15\times 16}{4\times 30}$

বা, x = 2

∴ X এর মান 2 (উত্তর)

4.(iii) x,y এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z এর সঙ্গে ব্যাস্তভেদে আছে । y=5 ও z=9 হলে, x = 1/6 হয় । x,y ও z এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি এবং y=6 ও z=1/5 হলে, x এর মান হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ

$x\propto y$ , যখন z ধ্রুবক

$x\propto \frac{1}{z}$, যখন y ধ্রুবক

$\therefore x\propto \frac{y}{z}$ , যখন y ও z উভয়ই পরিবর্তনশীল

সুতরাং, x = $k\times \frac{y}{z}$ [k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] —(i)

y=5 এবং z=9 হলে x =$\frac{1}{6}$  [প্রদত্ত]

(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,

$\frac{1}{6}=k\times \frac{5}{9}$

বা, k = $\frac{9}{30}$

বা, k = $\frac{3}{10}$

আবার (i) নং সমীকরণে k –এর মান বসিয়ে পাই,

x = $\frac{3y}{10z}$—-(ii)

x = $\frac{3\times 6}{10\times \frac{1}{5}}$

বা, x = 9

∴ x ,y ও z এর মধ্যে সম্পর্কটি হল x = $\frac{3y}{10z}$ এবং x =9 হবে যখন y =6 এবং z = $\frac{1}{5}$  

 

5(i) x ∝ y হলে, দেখাইযে , x+y ∝ x-y

সমাধানঃ

$x\propto y$

বা, $x=ky$ [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

$\therefore \frac{x+y}{x–y}$

= $\frac{ky+y}{ky–y}[\because x=ky]$

= $\frac{y(k+1)}{y(k–1)}$

 = $\frac{k–1}{k+1}$

 = k’ = ধ্রুবক 

$\therefore (x+y)\propto (x–y)$ [প্রমাণিত]

 

$5(\mathit{i}\mathit{i})\mathit{A}\propto \frac{1}{\mathit{C}},\mathit{C}\propto \frac{1}{\mathit{B}},$ তবে দেখাই যে , $\mathit{A}\propto \mathit{B}$

সমাধানঃ

$A\propto \frac{1}{C}$

$\therefore A=\frac{K_1}{C}$ [K₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] —(i)  

আবার, $C\propto \frac{1}{B}$

$\therefore C=\frac{K_2}{B}$ [K₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] —-(ii)

(i)নং ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই,

$\frac{K_1}{A}$ =$\frac{K_2}{B}$

বা, $\frac{A}{B}$ = $\frac{K_1}{K_2}$

বা, $\frac{A}{B}$ = K [যেখানে $K=\frac{K_1}{K_2}$ = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

$\therefore A\propto B$ [প্রমাণিত]

 

$5(\mathit{i}\mathit{i}\mathit{i})\mathit{a}\propto \mathit{b},\mathit{b}\propto \frac{1}{\mathit{c}}\mathit{c}\propto \mathit{d}$ হয়, তবে a ও d এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি ।

সমাধানঃ

$a\propto b$

$\therefore a=k_{1}b$ [যেখানে k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] —(i)

আবার, $b\propto \frac{1}{c}$

$\therefore b$ = $\frac{k_2}{c}$[যেখানে k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]—(ii)

আবার, $c\propto d$

$\therefore c=k_{3}d$ [যেখানে k₃ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] —(iii)

এখন, $a=k_{1}b$

বা, a = $k_1\left(\frac{k_2}{c}\right)$ [(ii) নং সমীকরণ থেকে ] 

বা, a = $\frac{k_1{k}_2}{k_{3}d}$ [(iii) নং সমীকরণ থেকে ]  

বা, a = $\frac{k}{d}$ [যেখানে k=$\frac{k_1{k}_2}{k_3}$ =অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

বা, ad = k

∴ a ও d ব্যস্ত ভেদে আছে ।

5(iv) x∝y , y∝z এবং z∝x হলে , ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ 

x ∝y

∴ x=k₁y [যেখানে k1 একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] —–(i)

এবং y∝z

∴ x=k₂y [যেখানে k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]—-(ii)

আবার, z∝x

∴ z=k₃x [যেখানে k₃ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]—(iii)

(i) ,(ii) ও (iii) নং সমীকরণ গুণ করে পাই,

xyz=k₁k₂ k₃ xyz

বা, k₁k₂ k₃ = $\frac{xyz}{xyz}$

বা, k₁k₂ k₃ = 1

∴ ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে গুণফল 1 । এটাই ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক । 

 

6. x+y ∝ x-y হলে, দেখাই যে ,

(i) x²+y² ∝ xy

সমাধানঃ

$x+y\propto x–y$

$\therefore (x+y)=k(x–y)$ [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

বা, $\frac{x+y}{x–y}=k$

বা, $\frac{(x+y{)}^2}{(x–y{)}^2}=k^2$ [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই]

বা, $\frac{(x+y{)}^2+(x–y{)}^2}{(x+y{)}^2–(x–y{)}^2}$ = $\frac{k^2+1}{k^2–1}$ [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই]

বা, $\frac{2(x^2+y^2)}{4xy}$=$\frac{k^2+1}{k^2–1}$

বা, $\frac{(x^2+y^2)}{2xy}$ = $\frac{k^2+1}{k^2–1}$

বা, $\frac{(x^2+y^2)}{xy}$= $\frac{2(k^2+1)}{k^2–1}$ =ধ্রুবক 

$\therefore x^2+y^2\propto xy$

 

(ii)  x³+y³ ∝ x³-y³

সমাধানঃ

 $x+y\propto x–y$

বা, $x+y=k(x–y)$ [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

বা, $x+y=kx–ky$

বা, $y+ky=kx–x$

বা, $y(1+k)=x(k–1)$

বা, $\frac{x}{y}$ = $\frac{k+1}{k–1}$

বা, $\frac{x}{y}$ = p [ধরি,$\frac{k+1}{k–1}$=p=ধ্রুবক ]

বা, $\frac{x^3}{y^3}$ =$p^3$ [উভয়পক্ষে ঘন করে পাই]  

বা, $\frac{x^3+y^3}{x^3–y^3}$= $\frac{p^3+1}{p^3–1}$ [যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই] 

বা, $\frac{x^3+y^3}{x^3–y^3}$ = ধ্রুবক

$\therefore x^3+y^3\propto x^3–y^3$ [প্রমাণিত] 

 

(iii) ax+by ∝ px+qy [  যেখানে , a,b,p,q অশূন্য ধ্রুবক]

সমাধানঃ

x+y∝x-y

বা, x+y=k(x-y) [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] 

বা, x+y=kx-ky

বা, y+ky=x-kx

বা, y(1+k)=x(1-k)

বা, $\frac{x}{y}$=$\frac{1+k}{1–k}$

বা, $\frac{x}{y}$ = m[$\frac{1+k}{1–k}$ = m =ধ্রুবক]

বা, x =my

$\therefore \frac{\mathrm{ax}+\mathrm{by}}{\mathrm{px}+\mathrm{qy}}$

 = $\frac{\mathrm{amy}+\mathrm{by}}{\mathrm{pmy}+\mathrm{qy}}$

=$\frac{\mathrm{y}(\mathrm{am}+\mathrm{b})}{\mathrm{y}(\mathrm{pm}+\mathrm{q})}$

= $\frac{\mathrm{am}+\mathrm{b}}{\mathrm{pm}+\mathrm{q}}$

= ধ্রুবক [যেহেতু, a,b,p,q,m প্রত্যেকে ধ্রুবক]

$\therefore \mathrm{ax}+\mathrm{by}\propto \mathrm{px}+\mathrm{qy}$ [প্রমাণিত]

 

7.(i) a²+b² ∝ ab হলে, প্রমান করি যে, a+b ∝ a-b.

সমাধানঃ

a²+b² ∝ ab

বা, a²+b²=kab

বা, $\frac{a^2+b^2}{ab}$ = k

বা, $\frac{a^2+b^2}{2ab}$ = $\frac{k}{2}$ [উভয়পক্ষে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই]

বা,$\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2–2ab}$ = $\frac{k+2}{k–2}$ [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া]

বা,$\frac{(a+b{)}^2}{(a–b{)}^2}$ = $\frac{k+2}{k–2}$

বা, $\frac{a+b}{a–b}$ = $\sqrt{\frac{k+2}{k–2}}$ =ধ্রুবক 

∴$(a+b)\propto (a–b)$ [প্রমাণিত]

 

(ii) x³+y³ ∝ x³-y³ হলে , প্রমান করি যে, x+y ∝ x-y

সমাধানঃ

$x^3+y^3\propto x^3–y^3$

বা, $(x^3+y^3)$ = k$\left(x^3–y^3\right)$[k-একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

বা, $\frac{(x^3+y^3)}{\left(x^3–y^3\right)}$ = k

বা, $\frac{(x^3+y^3)+\left(x^3–y^3\right)}{(x^3+y^3)–\left(x^3–y^3\right)}$ = $\frac{k+1}{k–1}$ [যোগভাগ প্রক্রিয়া ] 

বা, $\frac{2x^3}{2y^3}$ = $\frac{k+1}{k–1}$

বা, $\frac{x^3}{y^3}$ = $\frac{k+1}{k–1}$

বা, $\frac{x}{y}$ = $\sqrt[3]{\frac{k+1}{k–1}}$ = m [ধরি, $m$ = $\sqrt[3]{\frac{k+1}{k–1}}$ =ধ্রুবক] 

বা, $\frac{x}{y}$ = $\frac{m}{1}$

বা, $\frac{x+y}{x–y}$ = $\frac{m+1}{m–1}$ =ধ্রুবক

$\therefore x+y\propto x–y$ [প্রমাণিত] 

 

8. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন । ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ 

ধরি, কৃষক সংখ্যা A এবং দিনসংখ্যা B এবং চাষের জমির পরিমান C । যেহেতু জমির পরিমান স্থির রেখে , দিনসংখ্যা বাড়ালে ( বা কমালে ) কৃষক সংখ্যা কমবে ( বা বাড়বে ) এবং দিনসংখ্যা স্থির রেখে, জমির পরিমান বাড়ালে ( বা কমালে ) কৃষক সংখ্যা বাড়বে ( বা কমবে ) ।সুতরাং , A এবং B ব্যাস্তভেদে আছে এবং A ও C সরলভেদে আছে ।

সুতরাং, $A\propto \frac{1}{B}$ , যখন C ধ্রুবক 

এবং $A\propto C$ ,যখন B ধ্রুবক 

অর্থাৎ যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে,

$A\propto \frac{C}{B}$ , যখন B,C উভয়েই পরিবর্তনশীল 

$\therefore A=\frac{kC}{B}$ [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] 

A=15 হলে , B=5 এবং C =18

সুতরাং, 15 = $\frac{k\times 18}{5}$

বা, k = $\frac{75}{18}$

বা, k = $\frac{25}{6}$

$\therefore A$ = $\frac{25C}{6B}$ —-(i) 

এখন (i) নং সমীকরণে A=10 এবং C=12 বসিয়ে পাই, 

10 = $\frac{25\times 12}{6B}$

বা, B = $\frac{25\times 12}{6\times 10}$

বা, B = 5

∴ 10 জন  কৃষকের 12 বিঘা জমি চাষ করতে 5 দিন সময় লাগবে । 

 

9. গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরল্ভেদে আছে ।1 ½ , 2 এবং 2 ½ মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাস বিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হল । নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি । ( ধরি , গলানোর আগে এবং পরে আয়তন একই থাকে )

সমাধানঃ

প্রশ্নানুসারে,

V∝r³ 

বা, V =kr³ [যেখানে k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] 

প্রথম গোলকের ব্যাসার্ধ

= $(1\frac{1}{2}÷2)$ মিটার 

= $(\frac{3}{2}÷2)$ মিটার 

= $\frac{3}{4}$

∴ প্রথম গোলকের আয়তন

=kr³

= $k{\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ ঘনমিটার

=$\frac{27k}{64}$ ঘনমিটার 

দ্বিতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ = (2÷2)মিটার =1 মিটার 

∴ দ্বিতীয় গোলকের আয়তন

=kr³

= $k(1{)}^3$ ঘনমিটার

= k ঘনমিটার 

তৃতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ

= $(2\frac{1}{2}÷2)$ মিটার 

= $(\frac{5}{2}÷2)$ মিটার

= $(\frac{5}{2}\times \frac{1}{2})$ মিটার

= $\frac{5}{4}$ মিটার 

∴ তৃতীয় গোলকের আয়তন

=kr³ ঘনমিটার

=$k{\left(\frac{5}{4}\right)}^3$ ঘনমিটার

= $\frac{125k}{64}$ ঘনমিটার

∴ নতুন গোলকের আয়তন

= $(\frac{27k}{64}+k+\frac{125k}{64})$ ঘনমিটার

= $\frac{27k+64k+125k}{64}$ ঘনমিটার 

= $\frac{216k}{64}$ ঘনমিটার 

ধরি , নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ R মিটার ।

∴ নতুন গোলকের আয়তন = kR³ ঘনমিটার 

∴ kR³ = $\frac{216k}{64}$

বা, R³ =$\frac{216}{64}$

বা, R³ = $\frac{27}{8}$

বা, R=$\frac{3}{2}$

বা, R=1.5

∴ নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ 1.5 মিটার । 

∴ নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = (2✕ 1.5) মিটার = 3 মিটার । 

 

10. y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি x চলের সাথে ব্যাস্ত ভেদে আছে । x= 1 হলে , y = -1 এবং x = 3 হলে , y=5 ; x ও y এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ

ধরি , m ও n দুটি চল এবং y =m+n , যেখানে m চল x এর সঙ্গে সরল ভেদে আছে এবং অপর চল n , x এর সঙ্গে ব্যাস্ত ভেদে আছে । 

∴ m ∝ x

বা, m =k₁x [k₁একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] 

আবার, $n\propto \frac{1}{x}$

$\therefore n$ = $\frac{k_2}{x}$ [k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

$\therefore y$ = m + n = $k_{1}x+\frac{k_2}{x}$

বা, y = $k_{1}x+\frac{k_2}{x}$ —-(i)

(i) নং সমীকরণে x = 1 এবং y=-1 বসিয়ে পাই,

-1= k₁+k₂ —–(ii) 

আবার , (i) নং সমীকরণে x=3 এবং y=5 বসিয়ে পাই ,

$5=3k_1+\frac{k_2}{3}$

বা, $9k_1+k_2$ = 15 —-(iii) 

(iii) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

বা, $(9k_1+k_2)–(k_1+k_2)$ = 15 – ( – 1)

বা, $9k_1+k_2–k_1–k_2$ = 15 + 1

বা, $8k_1$ = 16

বা, $k_1$ = $\frac{16}{8}$

বা, $k_1$ = 2

(ii) নং সমীকরণে k₁ =2 বসিয়ে পাই,

2+k₂ = -1

বা, k₂ = -1-2

বা, k₂ =-3

এখন (i) নং সমীকরণে k₁ ও k₂ এর মান বসিয়ে পাই,

y = $2x–\frac{3}{x}$

∴ x ও y এর মধ্যে সম্পর্কটি হল y = $2x–\frac{3}{x}$

 

11. a ∝ b , b ∝ c হলে দেখাই যে , a³b³ +b³c³ +c³a³ ∝ abc (a³+b³+c³ )

সমাধানঃ

a ∝ b

∴ a=mb [যেখানে m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

আবার, b∝c

∴ b=nc [যেখানে n একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

∴ a=mb=m(nc)=mnc

∴ a=mnc এবং b =nc

$\therefore \frac{a^3{b}^3+b^3{c}^3+c^3{a}^3}{abc(a^3+b^3+c^3)}$

= $\frac{{\left(mnc\right)}^3(nc{)}^3+(nc{)}^3{c}^3+c^3(mnc{)}^3}{(mnc)(nc)c\{{\left(mnc\right)}^3+{\left(nc\right)}^3+c^3\}}$

= $\frac{m^3{n}^6{c}^6+n^3{c}^6+m^3{n}^3{c}^6}{m{n}^2{c}^2(m^3{n}^3{c}^3+n^3{c}^3+c^3)}$

= $\frac{c^6{n}^3(m^3{n}^3+1+m^3)}{m{n}^2{c}^6(m^3{n}^3+n^3+1)}$

= $\frac{n(m^3{n}^3+1+m^3)}{m(m^3{n}^3+n^3+1)}$

= ধ্রুবক

$\therefore \frac{a^3{b}^3+b^3{c}^3+c^3{a}^3}{abc(a^3+b^3+c^3)}$=ধ্রুবক

∴ (a³b³+b³c³+c³a³) ∝ abc(a³+b³+c³) [প্রমাণিত] 

 

12. X ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যায়ের এক অংশ x – এর সঙ্গে সরল্ভেদে এবং অপর অংশ x² এর সঙ্গে সরল্ভেদে পরিবর্তিত হয় । যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যায় হয় , তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যায় হবে হিসাব করে লিখি ।

সমাধানঃ 

ধরি , কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যায় হয় y টাকা । আরও ধরাযাক মোট ব্যায়ের m অংশ x এর সঙ্গে সরল ভেদে এবং n অংশ x² এর সঙ্গে সরল্ভেদে পরিবর্তিত হয় ।

∴ y = m+n

আবার , m ∝ x

বা , m = px [ যেখানে , p একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

এবং , n ∝ x²

বা, n = qx²

∴ y = px+qx² —– (i)

প্রদত্ত শর্তানুসারে , x= 100 হলে y = 5000 এবং (i) নং সমীকরণে এই মানগুলি বসিয়ে পাই ,

∴ 5000= p(100)+q(100)²

^বা, p+100q = 50 —– (ii)

আবার প্রদত্ত শর্তানুসারে , x = 200 হলে y = 12000 এবং (i) নং সমীকরণে এই মানগুলি বসিয়ে পাই ,

12000 = p(200)+q(200)²

বা, p+200q = 60 —- (iii)

(iii) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই ,

(P+200q)-(p+100q) = 60-50

বা , p+200q-p-100q=10

বা, 100q=10

বা, q = 10/100

বা, q = 1/10 

Q এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই ,

P + 100 (1/10)=50

বা, p + 10 =50

বা, p = 50-10

বা, p = 40

(i) নং সমীকরনে p ও q এর মান বসিয়ে পাই ,

y = 40x + (1/10)x² —– (iv)

এখন 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খনন করার জন্য খরচ 

y = 40(250)+(1/10) (250)²

বা, y = 10000+ 6250

বা, y = 16250

∴ 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খনন করার জন্য 16250 টাকা খরচ হবে ।

 

13. চোঙের আয়তন , ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে । দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5:4 হলে , ওদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ ধরি , চোঙের আয়তন V ঘনএকক, ভূমির ব্যাসার্ধ R একক এবং উচ্চতা h একক ।

শর্তানুসারে ,

V ∝ R² h

বা, V = k R² h —– (i)  [ যেখানে k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

ধরি , চোঙ দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 2r একক এবং 3r একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে 5h একক ও 4h একক । আরও ধরাযাক দুটি চোঙের আয়তন যথাক্রমে V₁ ঘন একক এবং V₂ ঘন একক ।

∴ প্রথম চোঙের আয়তন V₁ = k.(2r)².5h ঘন একক = 20kr²h ঘন একক 

এবং দ্বিতীয় চোঙের আয়তন V₂ = k.(3r)².4h ঘন একক = 36kr²h ঘন একক

∴ চোঙদুটির আয়তনের অনুপাত

= V₁ : V₂

= 20kr²h : 36kr²h

= 20:36

= 5 : 9 ( উত্তর)

 

14. পাচলা গ্রামের কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে । আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙ্গল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত ।এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায় । একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙ্গলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ 

ধরি , জমির পরিমান A ,লাঙ্গল সংখ্যা N এবং দিনসংখ্যা D ।

এখন , দিনসংখ্যা স্থির রেখে লাঙ্গল সংখ্যা বাড়ালে ( বা কমালে ) চাষ করা জমির পরিমান বাড়বে (বা কমবে ) এবং লাঙ্গলের সংখ্যা স্থির রেখে দিনসংখ্যা বাড়ালে (বা কমালে ) চাষ করা জমির পরিমান বাড়বে (বা কমবে ) ।

সুতরাং , A রাশিটি N এবং D এর সঙ্গে সরলভেদে আছে ।

∴ A  ∝ N এবং A ∝ D

বা , A ∝ ND

বা, A = kND [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]—–(i)

(i) নং সমীকরণে A = 2400 , N = 25 এবং D = 36 বসিয়ে পাই ,

2400 =k×25×36

বা, k=$\frac{2400}{25\times 36}$

বা, k = $\frac{8}{3}$ 

এখন A =$\frac{2400}{2}$ =1200 ,D=30 এবং k=$\frac{8}{3}$ (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই , 

$\therefore 1200$ = $\frac{8}{3}\times N\times 30$

বা, 80N=1200

বা, N=$\frac{1200}{80}$

বা, N=15

∴ একটি ট্রাক্টর 15 টি লাঙ্গলের সমান কাজ করতে পারবে । 

 

15. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরল্ভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরল্ভেদে পরিবর্তিত হয় । প্রমান করি যে , গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরল্ভেদে থাকবে ।

সমাধানঃ 

ধরি , গোলকের আয়তন V এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r এবং পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল S , প্রমান করতে হবে যে , $V^2\propto S^3$

শর্তানুসারে , V ∝ r³

বা , V = k r³ [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

এবং S ∝ r²

বা, S = m r² [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

$\therefore \frac{V^2}{S^3}$

= $\frac{{\left(k{r}^3\right)}^2}{{\left(m{r}^2\right)}^3}$

= $\frac{k^2{r}^6}{m^3{r}^6}$

= $\frac{k^2}{m^3}$

= অশূন্য ধ্রুবক 

$\therefore V^2\propto S^3$ [প্রমাণিত] 

 

16. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তর ধর্মী প্রশ্ন (V.S.A)

(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) x ∝ 1/y হলে ,

(a) x=1/y

(b) y = 1/x

(c ) xy=1

(d) xy = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক

Ans: (d) xy = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক

(ii) যদি x ∝ y হয় , তখন

(a) x²    ∝  y³

(b) x3 ∝  y²

(c ) x ∝ y³

(d) x² ∝  y²

Ans: (d) x²∝ y²

সমাধানঃ 

x ∝ y

∴ x = ky [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

∴ X² = (ky)²

বা, x² = k²y²

বা , x² ∝  y²

(iii) x ∝ y এবং y =8 যখন x=2 ; y=16 হলে , x এর মান

(a) 2

(b) 4

(c ) 6

(d) 8

Ans: (b) 4

সমাধানঃ

x ∝ y

∴ x = ky [ K একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

এখন y = 8 যখন x =2

∴ 2 =8k

বা, k = 2/8

বা, k = ¼

∴ x = y/4

এখন y = 16 হলে ,

X = 16/4

বা , x = 4

(iv) x ∝ y²  এবং y =4 যখন x= 8 ; x=32 হলে , y এর ধনাত্মক মান

(a) 4

(b) 8

(c ) -1

(d) 32

Ans: (b) 8

সমাধানঃ

 x ∝ y²  

∴ x = k y²   [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

Y =4 যখন x = 8

∴ 8 = k (4)²

বা, 16k =8

বা, k = 8/16

বা, k = ½

∴ x = y²/2

এখন ,X = 32 হলে,

32 = y²/2

বা, y² = 64

বা , y² = (8)²

বা , y =8 [ যেহেতু y ধনাত্মক ]

(v) যদি, $\mathit{y}–\mathit{z}\propto \frac{1}{\mathit{x}},\mathit{z}–\mathit{x}\propto \frac{1}{\mathit{y}}$ এবং $\mathit{x}–\mathit{y}\propto \frac{1}{\mathit{z}}$ হয় , তবে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি 

(a) 0

(b) 1

(c) -1

(d) 2

Ans: (a) 0

$y–z\propto \frac{1}{x}$

$\therefore y–z=k_1\times \frac{1}{x}$ [k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

বা, $x(y–z)$ = $k_1$ ——-(i)

আবার, $z–x\propto \frac{1}{y}$

$\therefore z–x=k_2\times \frac{1}{y}$ [k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

বা, $y(z–x)$ = $k_2$ —-(ii)

বা, $x–y\propto \frac{1}{z}$

$\therefore x–y$ = $k_3\times \frac{1}{z}$

বা, $z(x–y)$ = $k_3$ —–(iii)

এখন (i) ,(ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই ,

_k1+k₂+k₃=x(y-z)+y(z-x)+z(x-y)=xy-xz+yz-yx+zx-zy=0 

∴ ভেদ ধ্রুবক গুলির যোগফল 0 ।

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(i) y ∝ 1/x হলে , y/x একটি অশূন্য ধ্রুবক ।

উত্তরঃ মিথ্যা ।

y ∝ 1/x হলে , xy একটি অশূন্য ধ্রুবক ।

(ii) x ∝ z এবং y ∝ z হলে ,xy ∝ z

উত্তরঃ সত্য ।

(C ) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) x ∝ 1/y এবং y ∝ 1/z হলে , x ∝___________ ।

উত্তরঃ x ∝ z

$x\propto \frac{1}{y}$

$\therefore x=\frac{k}{y}$[k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

বা, y = $\frac{k}{x}$

আবার, $y\propto \frac{1}{z}$

$\therefore y$ =$\frac{t}{z}$ [t একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] 

$\therefore \frac{k}{x}$ = $\frac{t}{z}$

বা, x = $\frac{k}{t}z$

বা, $\frac{x}{z}$ = $\frac{k}{t}$ = ধ্রুবক 

$\therefore x\propto z$ 

(ii) x ∝ y হলে , xⁿ ∝ _________

উত্তরঃ yⁿ

(iii) x ∝ y এবং x ∝ z হলে, (y+z) ∝_________

উত্তরঃ 

x ∝ y

∴ x=k₁y [k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

বা, y=$\frac{x}{k_1}$

আবার , x ∝ z 

∴ x=k₂z [k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

বা, z=$\frac{x}{k_2}$

∴ y+z

=$\frac{x}{k_1}+\frac{x}{k_2}$

= $x(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2})$

$\therefore \frac{y+z}{x}$ = $(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2})$ =ধ্রুবক 

$\therefore y+z\propto x$ 

17. সংক্ষিপ্ত উত্তর ধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) x ∝ y ² এবং y = 2a যখন x=a; x ও y এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ 

x ∝ y ²

∴ x = k y ² [K একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]—-(i)

y=2a যখন x = a

(i) নং সমীকরণ থেকে পাই ,

∴ a = k (2a)²

বা, a = 4a²k

বা, a= 1/4k 

আবার (i) নং সমীকরনে k এর মান বসিয়ে পাই ,

∴ x = (1/4k)y²

(ii) x ∝ y , y ∝z এবং z ∝ x হলে , অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুনফল নির্ণয় করি ।

সমাধানঃ  

x ∝ y

∴ x = py [ p একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

বা, p = $\frac{x}{y}$

 y ∝ z

∴ y = qz [ q একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

বা, q = $\frac{y}{z}$

z ∝ x

∴ z = rx [ r একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]

বা, r = $\frac{z}{x}$

pqr = $\frac{x}{y}\times \frac{y}{z}\times \frac{z}{x}$ = 1

∴ ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1 

(iii) $\mathit{x}\propto \frac{1}{\mathit{y}}$ এবং $\mathit{y}\propto \frac{1}{\mathit{z}}$ হলে , x,z এর সাথে সরল্ভেদে না ব্যাস্ত ভেদে আছে তা নির্ণয় করি ।  

সমাধানঃ 

$x\propto \frac{1}{y}$

∴ x = $\frac{k_1}{y}$ [k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] 

বা, y = $\frac{k_1}{x}$

আবার, $y\propto \frac{1}{z}$

∴ y = $\frac{k_2}{z}$ [k2 একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] 

$\therefore \frac{k_1}{x}$ = $\frac{k_2}{z}$

বা, $\frac{x}{z}$ =$\frac{k_1}{k_2}$

বা, $\frac{x}{z}$ = ধ্রুবক

$\therefore x\propto z$ 

(iv) x∝yz এবং y∝zx হলে দেখাই যে , z একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ।

সমাধানঃ

x∝ yz

∴ x =kyz [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

আবার , y∝zx

∴ y=rzx [r একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

∴ x=kyz=k(rzx)z=krx. z²

∴ z² =$\frac{1}{kr}$

বা, z=$\sqrt{\frac{1}{kr}}$ =অশূন্য ভেদ ধ্রুবক

∴ z একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ।

(v) যদি b ∝a³ হয় , এবং a এর বৃদ্ধি হয় 2:3 অনুপাতে , তাহলে b এর বৃদ্ধি কি অনুপাতে হবে নির্ণয় করি ।

b ∝ a³

∴ b=ka³ [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

a-এর বৃদ্ধি হয় 2:3 অনুপাতে 

∴$\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{k{\left(a_1\right)}^3}{k{\left(a_2\right)}^3}$ = ${\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^3$ = ${\left(\frac{2}{3}\right)}^3$ = $\frac{8}{27}$

∴ b, 8:27 অনুপাতে বৃদ্ধি পায় ।